程 勇，林 輝

（1.西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，陜西 西安 710072；2.西安科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710054）

0 引言

開關(guān)磁阻電機(jī)SRM（Switched Reluctant Motor）伺服系統(tǒng)要求具有精確的速度跟蹤能力和很強(qiáng)的擾動抑制能力，但是其雙凸極結(jié)構(gòu)形成了磁場非線性[1]，并由此影響轉(zhuǎn)矩輸出形成脈動。雖然SRM結(jié)構(gòu)相對簡單，但是很難由一個準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式來描述，這給SRM的研究帶來了一定的困難。在伺服控制過程中，實現(xiàn)對轉(zhuǎn)速跟蹤和各類擾動抑制，并且保持電機(jī)的工作特性穩(wěn)定是各國學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

伺服控制中，常見的控制方法是PID算法，由于其控制參數(shù)固定，很難在擾動下達(dá)到滿意的控制效果。L2魯棒控制器已經(jīng)被證明是一種在不同的伺服系統(tǒng)中抑制擾動的有效方法[2-6]。結(jié)合SRM轉(zhuǎn)矩和磁鏈的非線性特性和L2魯棒控制器要求，通過推導(dǎo)轉(zhuǎn)速誤差，提出了將轉(zhuǎn)速跟蹤和擾動抑制都轉(zhuǎn)化為L2增益魯棒控制的思想。而且控制系統(tǒng)需要內(nèi)環(huán)控制器跟隨魯棒控制輸出轉(zhuǎn)矩指令，實現(xiàn)對SRM的魯棒控制。常用轉(zhuǎn)矩控制方法是通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近非線性SRM內(nèi)部轉(zhuǎn)矩模型，然后采用轉(zhuǎn)矩分配法實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩的分配控制。轉(zhuǎn)矩分配法需要再次計算控制電流，控制律復(fù)雜。本文采用直接瞬時轉(zhuǎn)矩控制（DITC）方法，該方法[7-12]已經(jīng)被證明是一種算法簡單、具有廣泛適用性的轉(zhuǎn)矩控制方法。

本文提出了一種結(jié)合DITC方法的L2魯棒控制系統(tǒng)。通過設(shè)計存儲函數(shù)，以數(shù)學(xué)和仿真實驗證明了這種控制方法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對擾動的抑制，而且實現(xiàn)了基于魯棒控制下的轉(zhuǎn)速跟蹤和基于DITC的轉(zhuǎn)矩控制。與文獻(xiàn)[13]提出的魯棒控制系統(tǒng)相比，本文提出的魯棒控制不是通過標(biāo)稱系統(tǒng)（系統(tǒng)精確建模部分）的穩(wěn)定性控制，來實現(xiàn)系統(tǒng)在運(yùn)行時對不確定性引起的初始條件的響應(yīng)的穩(wěn)定性控制。因為基于標(biāo)稱系統(tǒng)的控制方法與實際工程中差距較大，而且設(shè)計系統(tǒng)時無法事先定量地把握不確定性對系統(tǒng)性能品質(zhì)的影響[13]。本文通過L2控制器解決了SRM伺服系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速跟蹤問題和擾動抑制問題。仿真研究的結(jié)論證明了這種方法的正確性。

1 問題提出

在SRM中，有：

其中，U為繞組相電壓，i為繞組電流，θ為轉(zhuǎn)子位置角，ψ（i，θ）為電機(jī)定子的相繞組磁鏈。

每相繞組磁鏈ψ（i，θ）是關(guān)于繞組相電流和轉(zhuǎn)子位置角的函數(shù)：

其中，L為相電感。

按照力學(xué)定律可列出在電動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩Te和負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL作用下的轉(zhuǎn)子機(jī)械運(yùn)動方程：

其中，J為開關(guān)磁阻電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量，kω為摩擦系數(shù)，ω為電機(jī)角速度。

2 控制律推導(dǎo)

2.1 L2增益魯棒控制理論概述

假設(shè)如下系統(tǒng)：

其中，w為系統(tǒng)中未知干擾，z為罰函數(shù)。

在該系統(tǒng)中，定義L2增益為：

由式（5）可見，F(xiàn)越小說明干擾信號對評價信號的影響越小，系統(tǒng)抑制擾動能力越強(qiáng)。干擾抑制等價為設(shè)計控制器使閉環(huán)系統(tǒng)L2增益盡可能小或者小于某一給定的值，同時保證干擾為零時的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[2-4]。

給定的正數(shù)γ＞0，如果對閉環(huán)系統(tǒng)可以找到可微的正定函數(shù)V（x）滿足

就說明L2增益小于給定的性能指標(biāo)γ，達(dá)到了抑制擾動的目的，這就是L2增益控制。

2.2 L2控制問題的描述

為了實現(xiàn)對速度的準(zhǔn)確跟蹤，對擾動信號的抑制作如下定義。

定義1 定義速度誤差：

其中，ω*為恒定速度的給定量。

定義2 干擾抑制的評價信號為：

其中，p1＞0為加權(quán)系數(shù)。

由此可見，L2魯棒控制器的設(shè)計問題可以描述為：對給定控制對象求反饋控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足如下條件。

a.當(dāng)擾動TL=0時，對于任意初始狀態(tài)系統(tǒng)滿足全局漸近穩(wěn)定。

其中，T＞0為有限時間，γ＞0為給定干擾的抑制度。

2.3 L2魯棒控制律推導(dǎo)

定義3 對系統(tǒng)定義供給率為：

其中，F(xiàn)L為系統(tǒng)干擾，F(xiàn)L=TL。

如果系統(tǒng)對上述供給率是耗散的，那么存在正定函數(shù) V（x），使得：

其中，V（x）為存儲函數(shù)。從而將耗散性和L2增益約束條件聯(lián)系起來。

以e為狀態(tài)變量，構(gòu)成如下系統(tǒng)：

定理1 對于式（11）系統(tǒng)有：

其中，K1＞0為給定增益系數(shù)，γ＞0為給定干擾抑制度。那么，式（12）就是系統(tǒng)的L2控制器。

a.系統(tǒng)耗散性證明。

b.閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定性證明。

當(dāng)TL=0時，將Te代入V˙有：

閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

3 仿真驗證

考慮到轉(zhuǎn)矩特性的非線性，常見的轉(zhuǎn)矩分配方法實用性不強(qiáng)。所以系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)如圖1所示，采用轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩雙閉環(huán)的控制結(jié)構(gòu)。魯棒控制器根據(jù)速度給定ω*、反饋誤差e和反饋轉(zhuǎn)速ω，按照式（12）的控制律輸出轉(zhuǎn)矩指令Te。由于SRM轉(zhuǎn)矩的非線性，文獻(xiàn)[13]采用文獻(xiàn)[14]轉(zhuǎn)矩模型實現(xiàn)魯棒控制?？紤]控制對象的通用性，魯棒控制系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)通過DITC實現(xiàn)對L2控制器輸出跟蹤。直接瞬時轉(zhuǎn)矩的控制滯環(huán)策略采用文獻(xiàn)[8]的方法。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 System structure

系統(tǒng)參數(shù)為：采用四相8／6式SRM，轉(zhuǎn)動慣量J=0.0035 kg·m2，摩擦系數(shù) kω=0.04 mN·m·s／rad，開通角度 θon和關(guān)斷角度 θoff分別為 3°和 22°。 取 γ=0.5，K1=100，p1=0.1，系統(tǒng)目標(biāo)轉(zhuǎn)速是 500 r／min，啟動負(fù)載為3.5 N·m。0.4 s時，負(fù)載躍變?yōu)?.5 N·m。圖2是速度仿真結(jié)果，圖3是圖2的局部放大圖。

圖2 速度仿真曲線Fig.2 Simulative speed curve

圖3 局部放大圖Fig.3 Partial enlarged curve

通過仿真曲線可以看出，L2增益魯棒控制的方法滿足速度跟隨給定的要求。電機(jī)帶載轉(zhuǎn)速在0.15 s附近達(dá)到500 r／min。轉(zhuǎn)速經(jīng)過短暫的速度超調(diào)后達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在0.4 s時，系統(tǒng)負(fù)載發(fā)生躍變，在L2控制器的作用下，系統(tǒng)迅速地穩(wěn)定下來。通過式（5）、（6）、（12）可知，在 L2控制器中，p1對 Z 的范數(shù)有影響；而γ是擾動抑制度，理論上越小越好，但是過小會產(chǎn)生很大的輸出量。

由上可知，L2魯棒控制器實現(xiàn)了轉(zhuǎn)速的跟蹤控制和負(fù)載擾動的抑制。

4 結(jié)語

文章給出了SRM伺服系統(tǒng)速度跟蹤系統(tǒng)的L2魯棒控制器的設(shè)計方法，推導(dǎo)出了魯棒控制律，并且給出了抑制擾動和漸近穩(wěn)定相關(guān)的數(shù)學(xué)證明?？刂葡到y(tǒng)的轉(zhuǎn)矩內(nèi)環(huán)采用了基于DITC的轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)。仿真實驗證明，L2魯棒控制系統(tǒng)能夠滿足抑制擾動和轉(zhuǎn)速跟蹤的控制要求。