(郵編：241002)

安徽省蕪湖市南瑞實(shí)驗(yàn)學(xué)校

2019年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷頗有亮點(diǎn)，特別是選擇題的第7題，雖然題序靠前，構(gòu)圖簡潔，數(shù)據(jù)簡單，但還是讓許多學(xué)生早早就遭遇了“攔路虎”，耽誤了很多時(shí)間，甚至許多平時(shí)水平較好的學(xué)生思路也一時(shí)無法打開，有的甚至不得已，用作圖的方法按比例放縮“量”出了答案，無形中這道小題居然成為了卷面的拉檔題.

下面我們從不同的視角予以探究分析，并提煉出應(yīng)對策略，以供參考.

圖1

題目如圖1，在Rt△ABC中，AC=6，BC=12.點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G.若EF=EG，則CD的長為( )

A.3.6 B.4 C.4.8 D.5

1 初步審題 遭遇困惑

由∠C=90°，AC=6，BC=12，可知△ABC是確定的，即形狀與大小均確定.D點(diǎn)是主動(dòng)點(diǎn)在邊BC上運(yùn)動(dòng)，隨著D的運(yùn)動(dòng)，DA在變化，E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，位置不確定，但始終保持EF⊥AC，EG⊥EF的位置關(guān)系，在運(yùn)動(dòng)變化過程中的某個(gè)瞬間有EF=EG，此時(shí)D點(diǎn)的位置是確定，故而CD的長可求.

明確了題意之后，如何尋找解題突破口仍舊沒有突破.困難之處在于，點(diǎn)D與點(diǎn)E都在運(yùn)動(dòng)，EF=EG這個(gè)條件有什么作用，和已知條件之間有何關(guān)聯(lián)，都頗費(fèi)思量.

圖2

2 基于不同視角的分析

2.1 幾何變換視角 條件轉(zhuǎn)化

這樣把EF=EG的條件就自然轉(zhuǎn)化為DC=DM.接下來就是我們都很熟悉的基本問題了.

類似的，我們有

圖3

2.2 三角函數(shù)視角 列式消參

圖4

考慮到tan∠BAC=2是定值，如圖4可以延長FE交AB于N點(diǎn).

法3 因?yàn)镋G∥AC，所以∠EGN=∠BAC，所以tan∠EGN=tan∠BAC=2.

設(shè)EF=EG=k，則EN=2k.

由上述三種方法，我們發(fā)現(xiàn)，雖然D和E都是動(dòng)點(diǎn)，但是只要D的位置確定，E點(diǎn)分線段FN的比就是固定的，由tan∠BAC的值，可知NE與EG倍比關(guān)系，因此我們可以設(shè)定EF與EG的數(shù)量關(guān)系，就能源源不斷編出新的題目.

圖5

法4 如圖5過G作GH⊥AC于H點(diǎn). 因?yàn)镋F⊥AC，EG⊥EF，EF=EG，則四邊形EFHG是正方形.

由tan∠BAC=tan∠GAH=2，可設(shè)AH=k，GH=EF=FH=2k，則AF=k+2k=3k.

2.3 一次函數(shù)視角 待定系數(shù)

圖6

法5 考慮到∠C=90°，且AC=6，BC=12，以C為原點(diǎn)，CA和CB所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖6的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A為(6,0)，點(diǎn)B為(0,12)，設(shè)直線AB的解析式為y=k1x+b1,可得k1=-2,b1=12.

因?yàn)镚在直線AB上，可設(shè)G坐標(biāo)為(t,-2t+12)，由題意yG=EF=EG=-2t+12，

所以xE=xG，GE=t-(-2t+12)=3t-12,yE=yG=-2t+12.即E點(diǎn)坐標(biāo)為(3t-12，-2t+12).

設(shè)直線AE的解析式為y=k2x+b2,可得

2.4 構(gòu)建方程視角 設(shè)而不求

圖7

法6 如圖7，延長GE交BC于K，設(shè)EG=EF=KC=a，KE=b，DK=c.

3 回顧與反思

回到問題的開始，本題困難在于EF=EG這個(gè)條件有什么作用，以及和已知條件之間有何關(guān)聯(lián)，可以發(fā)現(xiàn)如果拘泥于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，比如說“邊等找全等”，或者局限于就幾何論幾何，而不能跨界思考，再加上考場心理緊張，思維打開確實(shí)有點(diǎn)困難.上述不同視角的破解分析，源于平時(shí)的積累與反思，將EF=EG放到不同的知識(shí)背景中就有可能產(chǎn)生不同的理解，從而展開由此及彼的推理，發(fā)揮關(guān)鍵條件的核心作用，攻堅(jiān)克難.

由此，對我們的教學(xué)有以下啟示：

3.1 復(fù)習(xí)階段要注意對考生的心理疏導(dǎo)

現(xiàn)行中考雖然是初中學(xué)業(yè)水平考試，但同時(shí)肩負(fù)有高一級學(xué)校的選拔功能，對心智尚不太成熟的初三學(xué)生來說，壓力很大.教師指導(dǎo)復(fù)習(xí)時(shí)，除了要進(jìn)行知識(shí)梳理、優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提煉方法、顯化思想，還要有意識(shí)地進(jìn)行考試心理疏導(dǎo)，讓學(xué)生能以合理的預(yù)期對待考試，遇到平時(shí)不太常見的問題，能有效地平復(fù)躁動(dòng)的心境，能合理地掌控時(shí)間和積極地應(yīng)對，比如先用特殊位置、作圖估算等嘗試，待第二輪解答時(shí)再重點(diǎn)沖刺，以免過多糾纏，影響正常發(fā)揮.

3.2 堅(jiān)持以核心素養(yǎng)的提升作為教學(xué)的落腳點(diǎn)，不能被 “綁架”

近年來，安徽省中考數(shù)學(xué)試卷命題不落俗套，穩(wěn)中出新，平和而有力度，特別是第9、10、14和23題等固定題位的命題質(zhì)量尤為上乘，具有廣泛的美譽(yù)度.但是，由于客觀上存在的應(yīng)試指揮棒，每年市場上針對上一年真題的高仿卷、定心卷、逆襲卷等甚囂塵上，花樣百出.各級各類的?？?，也是緊跟其后，于是無形中就形成了一股洪流，大家都圍繞上述所謂熱點(diǎn)(如最值、動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象、操作型幾何多解問題等)進(jìn)行狂轟亂炸，且不說是否和當(dāng)年考試對路(比如今年的試卷)，但是有一點(diǎn)是明顯的，就是忽略了中考復(fù)習(xí)的全面性、全體性以及復(fù)習(xí)教學(xué)行為的最終目的——讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)、分析與解決的過程，并在此過程中核心素養(yǎng)得到提升，而不是通過不斷刷題形成“肌肉記憶”.

3.3 用辯證的態(tài)度對待“解題套路”

學(xué)生通過初中三年的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，積累了大量的解題套路.一些特征明顯、可操作性強(qiáng)的解題套路，直接上手，可以減少思考的邏輯鏈，縮短思考的時(shí)間，效率較高，但帶來的負(fù)面效應(yīng)就是學(xué)生解題只憑感覺，缺少反思的意識(shí)和能力，容易固化思維形成路徑依賴(如上面提到的，部分學(xué)生看到線段相等只能想到全等)，長此以往就會(huì)形成思維定勢，數(shù)學(xué)思維缺乏靈活和變通.因此，復(fù)習(xí)教學(xué)要倡導(dǎo)一種不唯書、不唯上、不唯套路的課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生既要總結(jié)適合自己的解題套路，又要能跳出固有思維，用全息化的視角去審視問題.相應(yīng)地，教師備課時(shí)則要在問題的選配、變式的拓展、本質(zhì)的挖掘上做足文章，力求以點(diǎn)帶面，以少勝多.