江蘇省通州高級中學(xué) 朱麗強(qiáng)

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的思想和方法，學(xué)生認(rèn)識和了解數(shù)形結(jié)合不僅有利于應(yīng)試，也對培養(yǎng)邏輯思維能力有一定的幫助。在本篇文章中，我以平時(shí)的教學(xué)經(jīng)歷舉例，針對數(shù)形結(jié)合的含義和作用做了簡單概述，并講述了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生了解到數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述及意義

在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形作為兩個(gè)古老的命題被人們研究至今，現(xiàn)在的人們對其有了新的定義——代數(shù)和幾何，并在這二者之下衍生了很多分支?？此剖莾蓚€(gè)截然不同的研究命題，一個(gè)講的是數(shù)的變化之美，一個(gè)追求的是形的自然之道。然而大道歸一，代數(shù)和幾何間其實(shí)有著很多的共通之處，二者是能夠相互轉(zhuǎn)換、相互印證的，這也是數(shù)形結(jié)合思想存在的基礎(chǔ)。一般籠統(tǒng)來講，數(shù)形結(jié)合指的是數(shù)和形之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系，具體可以表現(xiàn)在數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)。在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，就是將抽象的數(shù)和具體的形聯(lián)系起來，化抽象為具體。

對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)是晦澀難懂的，最主要的原因就是其太過于抽象，無論是導(dǎo)數(shù)還是方程等都離日常生活太過遙遠(yuǎn)，學(xué)生想不到自然就覺得很難。但若是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來解題，將數(shù)化為直觀的形表現(xiàn)出來，學(xué)生便可以迅速理解。比如圓的方程，寫作方程可能部分人并不能得出圓的性質(zhì)，但是依照方程畫出圖形來，便可一眼看出圓的半徑、圓心等性質(zhì)，這便是數(shù)形結(jié)合的妙用。巧用數(shù)形結(jié)合可以簡化解題思路，迅速在繽紛復(fù)雜的數(shù)和形中找到最優(yōu)解，對于要應(yīng)對高考的學(xué)子來說有著極其重要的意義和作用。

二、數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用

1.由數(shù)到形

實(shí)數(shù)和數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系是由數(shù)到形思想最基礎(chǔ)的解答，后面學(xué)習(xí)的很多知識都是以數(shù)軸為基礎(chǔ)。初學(xué)實(shí)數(shù)時(shí)，可能部分學(xué)生對于這個(gè)概念并不是特別清楚，怎樣的數(shù)才能稱之為實(shí)數(shù)呢？書中給出了實(shí)數(shù)的范圍，它是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的。但是看起來還是太過于抽象，直到我們引入了數(shù)軸這個(gè)概念，將每一個(gè)數(shù)都具體到數(shù)軸上，實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，學(xué)生這才對實(shí)數(shù)有了直觀的了解。在概念的講解中，我們便應(yīng)用到了數(shù)形結(jié)合的思想。而到了高中數(shù)學(xué)，對由數(shù)到形的變換有了更深層次的要求。

比如在求最值時(shí)，我便會給學(xué)生出題：“已知點(diǎn)A（4，1），B（0，4）和直線l：3x-y-1=0，試在l上找一點(diǎn)P，使|PA|-|PB|最大，求P坐標(biāo)?！边@道題要運(yùn)用對稱性求解，將數(shù)化為“三角形兩邊之差小于第三邊”這一形的特征。首先設(shè)B的對稱點(diǎn)C，由BC中點(diǎn)在l上及BC垂直于l列方程組即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）。設(shè)AC與l交于點(diǎn)P，易得出P（2，5）。在l上任取一點(diǎn)D，由三角形兩邊之差小于第三邊列式，可得出P（2，5）即為所求。

2.由形到數(shù)

由形到數(shù)同樣是數(shù)形結(jié)合思想的一種具現(xiàn)形式，很多時(shí)候，幾何圖形是很難想象的，同學(xué)們在做這類題時(shí)也感覺十分麻煩。最簡單的，比如一個(gè)拋物線，開多大口，會和哪個(gè)軸相交，這都是問題，如果單單給出一個(gè)拋物線而沒有數(shù)字的輔助，自然是得不到這些信息的。但是如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將曲線數(shù)字化、方程化，我們通過研究方程來探究曲線的性質(zhì)，而不是觀察圖形本身，一切都會變得簡單很多。由形化數(shù)，就是我們探究幾何圖形性質(zhì)的一個(gè)工具。

以曲線為例，為了深入探究曲線的性質(zhì)，我們將一個(gè)方程與其對應(yīng)起來，一方面，曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都是所對應(yīng)方程的解，另一方面，方程所有解對應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上。曲線方程、軌跡方程等一系列將幾何具體到數(shù)上的問題統(tǒng)統(tǒng)可以用由形到數(shù)的思想解決。比如在講解軌跡方程時(shí)，我給學(xué)生出了一道題：“線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）2+y2=1 上運(yùn)動，求AB中點(diǎn)M的軌跡。”這道題很顯然是一道軌跡方程題，我們應(yīng)讓學(xué)生首先根據(jù)圓的方程寫出圓心、半徑，連接B點(diǎn)和圓心P，取PB中點(diǎn)N，由N、M分別是兩條線段中點(diǎn)得到幾個(gè)未知點(diǎn)的關(guān)系，最終可知M是一個(gè)圓的軌跡方程，利用定義求得。

3.數(shù)形轉(zhuǎn)換

很多復(fù)雜的問題不單單只是由數(shù)到形或是由形化數(shù)，更多的是需要學(xué)生將數(shù)和形結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)共同轉(zhuǎn)換，才能得到最終答案。數(shù)形轉(zhuǎn)換一般要求從題目的已知條件和要求的結(jié)論出發(fā)，從數(shù)到形，再由直觀的幾何圖形得到具體的數(shù)字，也就是正確的解。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)并不應(yīng)只局限于教授知識，應(yīng)更加側(cè)重于學(xué)生能力的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)中極其重要的思想和解題方法，不僅讓解題變得更加方便快捷，更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。老師應(yīng)該在平常方方面面的教學(xué)中對學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，為實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育做出努力。