李毅軒，鄭雄斌，姜 波

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院·南京·210094)

0 引 言

微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)陀螺是一種利用科氏效應(yīng)(Coriolis Effect)測(cè)量慣性空間中載體的旋轉(zhuǎn)角速度或角度的傳感器。它具有體積小、質(zhì)量小、功耗低、壽命長(zhǎng)、可批量生產(chǎn)等突出優(yōu)點(diǎn)，滿(mǎn)足現(xiàn)代慣導(dǎo)系統(tǒng)對(duì)高精度小型化慣性器件需求，因此被廣泛應(yīng)用于消費(fèi)電子產(chǎn)品、車(chē)輛導(dǎo)航、航空航天和制導(dǎo)武器等領(lǐng)域。MEMS陀螺按結(jié)構(gòu)形式和敏感角速度方式可以分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是集總質(zhì)量振動(dòng)陀螺，以音叉陀螺[1-2]為代表，其諧振結(jié)構(gòu)中有明確區(qū)分的兩種構(gòu)件，即提供慣性的質(zhì)量塊和提供剛度的柔性曲梁。這類(lèi)陀螺的優(yōu)勢(shì)是具有較大的敏感質(zhì)量和驅(qū)動(dòng)位移，能夠?qū)崿F(xiàn)較高的靈敏度。第二類(lèi)是固體波動(dòng)陀螺，這是一種連續(xù)分布質(zhì)量陀螺，以環(huán)式陀螺[3-12]為代表，其諧振結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件同時(shí)提供敏感質(zhì)量和彈性剛度。工作原理是基于旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)彈性波的慣性效應(yīng)，即由于科氏力的作用諧振結(jié)構(gòu)振型角隨輸入角速度產(chǎn)生繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的緩慢進(jìn)動(dòng)，利用該特性可以實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)角速度或角度的檢測(cè)。該類(lèi)陀螺因其軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)具有振型和頻率一致的工作模態(tài)，有利于實(shí)現(xiàn)模態(tài)匹配，此外還具有良好的抗振性和較低的溫度敏感性。美國(guó)波音公司和噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室報(bào)道了一款具有近導(dǎo)航級(jí)精度的MEMS多環(huán)陀螺[13]，揭示了軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)陀螺的巨大潛力。

南京理工大學(xué)[14]研制了一款全對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的八質(zhì)量MEMS陀螺，其諧振結(jié)構(gòu)由8個(gè)相同的三角形質(zhì)量塊沿圓周中心對(duì)稱(chēng)分布，通過(guò)折疊梁組相互連接形成一個(gè)連續(xù)的整體。工作模態(tài)為兩個(gè)類(lèi)似于MEMS環(huán)形陀螺的n=2模態(tài)，且?jiàn)A角為45°。這種新型陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)同時(shí)結(jié)合了集總質(zhì)量陀螺的大敏感質(zhì)量和固體波動(dòng)陀螺旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的最佳特性，具有實(shí)現(xiàn)高性能MEMS陀螺的潛力。

由于八質(zhì)量MEMS陀螺結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，在迭代設(shè)計(jì)過(guò)程中采用有限元仿真分析耗時(shí)費(fèi)力，為應(yīng)對(duì)這種情況，本文基于八質(zhì)量MEMS陀螺的結(jié)構(gòu)以及工作模態(tài)振型的特點(diǎn)，采用拉格朗日多自由度動(dòng)力學(xué)方程，建立一個(gè)適用于計(jì)算八質(zhì)量MEMS陀螺工作模態(tài)頻率的數(shù)學(xué)模型，來(lái)提高陀螺設(shè)計(jì)的效率。

1 八質(zhì)量MEMS陀螺的等效模型

八質(zhì)量MEMS陀螺的諧振子可以拆分為如下部件，如圖1所示，8個(gè)三角形質(zhì)量塊沿圓周旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)分布，通過(guò)內(nèi)部解耦梁組和外部解耦梁組分別與中心錨點(diǎn)和8個(gè)外部錨點(diǎn)連接，相鄰三角形質(zhì)量塊通過(guò)連接梁相互連接。內(nèi)部解耦梁組由T形結(jié)構(gòu)，以及4組易于沿徑向方向運(yùn)動(dòng)的解耦折疊梁(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為徑向解耦梁)和2組易于沿周向方向運(yùn)動(dòng)的解耦折疊梁(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為周向解耦梁)組成。其中T形結(jié)構(gòu)具有隔離徑向解耦梁和周向解耦梁相互影響的作用，確保三角形質(zhì)量塊只沿徑向或者周向運(yùn)動(dòng)。同理，外部解耦梁組也有類(lèi)似的組成部件，其中T形結(jié)構(gòu)由梳齒電極結(jié)構(gòu)替代。

圖1 八質(zhì)量MEMS陀螺的諧振子及其組成部件Fig.1 The components of eight-mass MEMS gyroscope resonator

基于以上所述的八質(zhì)量MEMS陀螺的諧振子結(jié)構(gòu)形式的特點(diǎn)，可以將其簡(jiǎn)化為如圖2所示的質(zhì)量-彈簧等效模型。圖中主要顯示八質(zhì)量MEMS陀螺的1/8諧振子的等效模型，mT為T(mén)形結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，mtri為三角形質(zhì)量塊的質(zhì)量，melec為梳齒電極結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，kr為徑向解耦梁的剛度，kc為周向解耦梁的剛度，ko為連接梁的剛度，在正八邊形結(jié)構(gòu)中ko與周向運(yùn)動(dòng)的夾角為22.5°。

圖2 八質(zhì)量MEMS陀螺的等效模型(1/8諧振子)Fig.2 The equivalent model of eight-mass MEMS gyroscope (1/8 of resonator)

2 八質(zhì)量MEMS陀螺模態(tài)頻率分析模型的建立

基于圖2所示的八質(zhì)量MEMS陀螺的等效模型，采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程建立其工作模態(tài)振型和頻率計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。如圖1所示，以0°方位的1/8的八質(zhì)量諧振子為基準(zhǔn)，按逆時(shí)針順序從1～8編號(hào)，然后分別提取其徑向位移xri和周向位移xci作為廣義運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)，i=1，2，…，8。三角形質(zhì)量塊和梳齒電極結(jié)構(gòu)提供的徑向運(yùn)動(dòng)方向的質(zhì)量mri(mri=mtrii+meleci)，周向運(yùn)動(dòng)方向的質(zhì)量mci(mci=mtrii+mTi)則由三角形質(zhì)量塊和T形結(jié)構(gòu)提供。8組徑向解耦梁提供的剛度定義為kri，4組周向解耦梁提供的剛度定義為kci，連接梁處的剛度定義如圖3所示，korij代表垂直于連接梁的剛度分量，kocij代表平行于連接梁的剛度，定義ij=12，23，34，…，78，81，θ值為22.5°。

圖3 連接梁處的剛度分布Fig.3 The stiffness distribution at the connecting beam

基于上述八質(zhì)量MEMS陀螺的等效模型參數(shù)的定義，系統(tǒng)動(dòng)能T的表達(dá)式為

(1)

徑向解耦梁和周向解耦梁產(chǎn)生的勢(shì)能Vrc的表達(dá)式為

(2)

連接梁處產(chǎn)生的勢(shì)能Vo表達(dá)式為

(ij=12,23,34,…,78,81)

(3)

則總勢(shì)能V=Vrc+Vo

為簡(jiǎn)化之后建立的工作模態(tài)頻率分析數(shù)學(xué)模型，考慮到八質(zhì)量MEMS陀螺的兩個(gè)工作模態(tài)的振型和頻率完全相同，因此只需針對(duì)性地建立描述其中一個(gè)工作模態(tài)振型的運(yùn)動(dòng)方程。八質(zhì)量MEMS陀螺的工作模態(tài)振型如圖4所示。

(a) 工作模態(tài)A (b) 工作模態(tài)B圖4 八質(zhì)量MEMS陀螺的工作模態(tài)Fig.4 The operation modes of eight-mass MEMS gyroscope

從圖4工作模態(tài)B的振型特點(diǎn)可知，三角形質(zhì)量塊主要有兩種運(yùn)動(dòng)方式：一是與梳齒電極結(jié)構(gòu)沿徑向方向運(yùn)動(dòng)，二是與T形結(jié)構(gòu)沿周向方向運(yùn)動(dòng)，且相鄰的兩個(gè)三角形質(zhì)量塊只存在沿徑向或者沿周向一種運(yùn)動(dòng)方式。故只需提取奇(偶)數(shù)編號(hào)的三角形質(zhì)量塊的徑(周)向位移xr2n-1(xc2n)，徑(周)向質(zhì)量mr2n-1(mc2n)，徑(周)向剛度kr2n-1(kc2n)，n=1，2，3，4，則式(1)、式(2)和式(3)可以簡(jiǎn)化為

(4)

(5)

(6)

拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程的一般表達(dá)式為

(7)

對(duì)于自由振動(dòng)的八質(zhì)量諧振子，阻尼項(xiàng)D暫不考慮，外力項(xiàng)F=0，則式(7)可以簡(jiǎn)化為

(8)

將簡(jiǎn)化后的動(dòng)能T和勢(shì)能V代入式(8)可以得到如下表達(dá)式

(9)

式中，

(10)

(11)

通過(guò)求解質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K所組成的行列式

|K-(2πf)2M|=0

(12)

得到8個(gè)特征頻率值fi。為識(shí)別所求特征頻率是否為工作模態(tài)頻率，通過(guò)逆推法將每個(gè)特征頻率fi代入圖5所示的流程進(jìn)行驗(yàn)證。

圖5 工作模態(tài)頻率識(shí)別流程Fig.5 The identification process of the operation mode frequency

基于上述頻率分析建模路線(xiàn)，同理可以針對(duì)性地建立八質(zhì)量MEMS陀螺其他平面模態(tài)的頻率理論計(jì)算模型。靠近八質(zhì)量MEMS陀螺工作模態(tài)的主要平面模態(tài)有：(a)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)，(b)第一類(lèi)平動(dòng)模態(tài)，(c)第二類(lèi)平動(dòng)模態(tài)，(d)全徑向差分運(yùn)動(dòng)模態(tài)，其對(duì)應(yīng)的模態(tài)形狀以及三角形質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方式如圖6所示。這4種平面模態(tài)被稱(chēng)為工作模態(tài)的干擾模態(tài)，在設(shè)計(jì)過(guò)程需要拉開(kāi)工作模態(tài)頻率與干擾模態(tài)頻率的頻差，避免模態(tài)之間的耦合。

(a) 轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)

(b) 第一類(lèi)平動(dòng)模態(tài)

(c) 第二類(lèi)平動(dòng)模態(tài)

(d) 全徑向差分運(yùn)動(dòng)模態(tài)圖6 八質(zhì)量MEMS陀螺的平面干擾模態(tài)Fig.6 The in-plane disturbing modes of eight-mass MEMS gyroscope

3 八質(zhì)量MEMS陀螺模態(tài)頻率分析模型的有效性評(píng)估

基于文獻(xiàn)[14]所提供的八質(zhì)量MEMS陀螺的初始參數(shù)對(duì)所建的模態(tài)頻率分析模型進(jìn)行有效性驗(yàn)證，參數(shù)數(shù)據(jù)如表1所示，表中徑向解耦梁的剛度、周向解耦梁的剛度和連接梁的剛度可以通過(guò)圖7中對(duì)應(yīng)梁的尺寸參數(shù)理論計(jì)算獲取[15]。

表1 八質(zhì)量MEMS陀螺初始參數(shù)Tab.1 The initial parameters of eight-mass MEMS gyroscope

(a) 徑向解耦梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)

(b) 周向解耦梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)

(c) 連接梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)圖7 梁的尺寸參數(shù)(單位：μm)Fig.7 The size parameters of the beams (unit：μm)

基于表1中的數(shù)據(jù)，采用所建立數(shù)學(xué)模型計(jì)算出八質(zhì)量MEMS陀螺的工作模態(tài)頻率以及平面模態(tài)頻率。同時(shí)為驗(yàn)證結(jié)果的可靠性，對(duì)八質(zhì)量MEMS陀螺進(jìn)行有限元建模仿真計(jì)算，表2列出了理論計(jì)算頻率與有限元仿真計(jì)算頻率的結(jié)果。經(jīng)過(guò)對(duì)比，理論計(jì)算出的工作頻率與仿真計(jì)算的頻率偏差為12.8%，對(duì)于其他平面模態(tài)，頻率偏差在13.6%以?xún)?nèi)，說(shuō)明該模態(tài)頻率分析數(shù)學(xué)模型可以得到較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

表2 理論計(jì)算頻率與有限元仿真計(jì)算頻率的結(jié)果Tab.2 The frequency calculation results of theory and FEM

4 結(jié) 論

本文采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程針對(duì)性地建立了一個(gè)分析八質(zhì)量MEMS陀螺的工作模態(tài)頻率的解析模型，并將理論計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)理論計(jì)算出的工作頻率與仿真計(jì)算的頻率偏差為12.8%，對(duì)于其他平面模態(tài)，頻率偏差在13.6%以?xún)?nèi)，證明了所建數(shù)學(xué)模型的可靠性。在八質(zhì)量MEMS陀螺的研究設(shè)計(jì)中，該數(shù)學(xué)模型能降低多次迭代所耗費(fèi)的時(shí)間，為準(zhǔn)確快速獲得工作模態(tài)目標(biāo)頻率奠定了基礎(chǔ)。