劉成龍　鄧萬強

[摘 要] 以一道區(qū)級調(diào)考錯題為例，展示了從錯誤中學習的四個方面：（1）發(fā)現(xiàn)錯誤——學習的起點；（2）分析錯誤——學習的核心；（3）糾正錯誤——學習的目標；（4）問題提升——學習的升華.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)現(xiàn)錯誤；分析錯誤；糾正錯誤；問題提升

從科學的發(fā)展歷程來看，通向真理的道路常常是以錯誤為基石. 一個較為圓滿的成果背后包含工作者們無數(shù)次從錯誤到正確的修正與調(diào)整. 數(shù)學學科的進步也毫無例外. 比如：1640年前后法國數(shù)學家費馬斷言素數(shù)表達式為：對于任何非負整數(shù)n，表達式F=22n+1均給出素數(shù). 大約100年后，1732年數(shù)學大師歐拉發(fā)現(xiàn)F=225+1=641×6700417不是素數(shù)，從而推翻了費馬猜想. 又如：在微積分的蓬勃發(fā)展時期，引進一致連續(xù)概念以前，包括柯西在內(nèi)數(shù)學家們對收斂函數(shù)項級數(shù)可以逐項積分都深信不疑，幾乎所有的數(shù)學家都確信連續(xù)函數(shù)一定是可微的. 1872年魏爾斯特拉斯給出了歷史上第一個處處連續(xù)但不可微的例子，進而引發(fā)了對函數(shù)具有“反?！毙詰B(tài)的深入研究. 可見，錯誤非但不是數(shù)學中的“包袱”，反而是促進數(shù)學發(fā)展的一劑良藥，正是錯誤和正確的交織推動著數(shù)學的向前發(fā)展. “從錯誤中學習”是新課程背景下提倡的一種重要學習策略. 它體現(xiàn)了教學方式的深刻變革，是現(xiàn)代教學觀下的一種教育機智. 文中以一道區(qū)級調(diào)考試錯題為例，展示“從錯誤中學習”的過程.

案例 （某市區(qū)級調(diào)考試題）如圖1，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的三邊上，E是AC的中點，AD，BE，CF交于一點G，BD=2DC，S=2，S=22，則△DGC的面積是______.

為便于敘述這里先對案例中試題的條件進行編號：

①E是AC的中點；

②AD，BE，CF交于一點G；

③BD=2DC；

④S=2；

⑤S=22.

發(fā)現(xiàn)錯誤——學習的起點

這里給出試題的兩種解法：

解法1 ①⑤S=11 ④S=9 ③S =3.

解法2 ③⑤S=①④S=4S=.

解法1、2都正確，但出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)果，這是為什么呢？

分析錯誤——學習的核心

法國數(shù)學家阿達瑪指出：“即使優(yōu)秀的數(shù)學家也經(jīng)常犯錯，不過他能很快地發(fā)現(xiàn)并糾正”.

分析1 ==， 由①⑤可知S=9，S=4，故=，這與③矛盾；

分析2 ===，設(shè)S=x，則S=x，S=4x，故S=5x=11，解得x=≠2；即S≠2，這與④矛盾；

分析3 當S=2時，由分析2可知S=8，故S=10，解得S=20，這與⑤矛盾；

分析4 由前文分析可知S=，S=3，所以S=-3-2-2=，故A，D，G不共線，這與②矛盾.

可以發(fā)現(xiàn)，原題的條件間互不相容，是一道錯題！為了加深對錯誤的認識，下面看看試題的背景：

塞瓦定理 如圖（原題圖），G是S內(nèi)一點，連接AG，BG，CG，并分別延長交BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)，則··=1.

因為··=··，由塞瓦定理可得：··=1或S·S·S=S·S·S.

可以發(fā)現(xiàn)G點一旦確定，三角形每條邊上的兩線段的比值確定，且G與任意兩定點構(gòu)成三角形中的兩小三角形比值確定. 這可以看成是此模型下的內(nèi)在屬性. 于是G、線段比值、面積大小必須達到內(nèi)在和諧，否則將會出現(xiàn)相互矛盾的情形. 文中的錯因正是由G、線段比值、面積大小間矛盾所致.

糾正錯誤——學習的目標

該題目的糾正方式有以下幾種：

改進1 其余條件不變，將⑤中的S=22改為S=20即可.

改進2 其余條件不變，將④中的S=2改為S=即可.

改進3 其余條件不變，將③中的BD=2DC改為BD=DC不共線即可.

改進4 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點G改為B，G，E不共線即可.

改進5 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點G改為A，G，D不共線即可.

問題提升——學習的升華

對錯題深入了解后，“你能把問題推廣到更一般的情形嗎？”（波利亞語）.

推廣1 如圖（原題圖），AD，BE，CF交于一點G，BD=mDC，AE=nEC，S=22，則△DGC的面積是S=.

證明 設(shè)S=x，S=y，由BD=mDC，AE=nEC，可得S=mx，S=ny，

于是（m+1）x+y=，x+（n+1）y=， 解得x=，y=， 即S=.

推廣2 如圖，若△ABC的面積為1，BG ∶ GF ∶ FC=m ∶ 1 ∶ n，CE ∶ DE ∶ AD=s ∶ 1 ∶ t，

則S=-.

證明 設(shè)S=mx，S=sy，由題意得S=（n+1）x，S=（t+1）y，

于是mx+（n+1）x+sy=，（n+1）x+sy+（t+1）y=，解得x=，y=-.

令S=nu，S=sv，則S=（m+1）u，S=（t+1）v，

得nu+（m+1）u+sv=，nu+sv+（t+1）v=.

解得

u=，v=-.

故S=S-S-S

=-mx-nu-sv

=-.

特別地，當m=n=s=t=1時，有AD=DE=EC，BG=GF=FC， 此時S=.

教學啟示

文中的案例展示了“從錯誤中學習”的過程：發(fā)現(xiàn)錯誤、分析錯誤、糾正錯誤和問題提升，其中發(fā)現(xiàn)錯誤是“學習”的起點、分析錯誤是“學習”的核心、糾正錯誤是“學習”的目標，問題提升是“學習”的升華. 同時，錯誤分析是“學習”的難點，分析錯誤是“學習”的關(guān)鍵點，問題提升是整個“學習”的亮點. 整個過程在析錯、糾錯中揭示了錯誤的本質(zhì)，在提升中將案例“學習”推向了高潮. 可見，“從錯誤中學習”是一種有益的學習方式. 教學中的錯誤很多，包括知識錯誤、邏輯錯誤、心理錯誤、策略錯誤等等. 面對錯誤，我們需要有容納錯誤的胸懷，而不是對錯誤的簡單摒棄. 教學中犯錯的主體有教師、學生以及知識載體（教材、教輔等），尤其面臨學生的錯誤，我們應(yīng)該給予更多的寬容與接納. 因此，將錯誤開發(fā)成寶貴的學習資源、教育資源我們責無旁貸！